第一章第一章 习 习 题题第一章第一章 习习 题题1-1-t-t 画出下列各信号的波形：(1) f (t)=(2-e )U(t); (2) f (t)=e cos10πt×
U(t-1)-U(t-2)
。12 解：（1）f 1 (t) 的波形如图 1.1（a）所示.2πT ==0.2 scos10πt10πf( )t(2) 因的周期,故 2的波形如图题 1.1(b)所示.1-1-2 211--2 2已知各信号的波形如图题 1-2 所示，试写出它们各自的函数式。f 1 (t) = t
u(t) − u(t −1)
+ u(t −1) 解：f 2 (t) = −(t −1)
u(t) − u(t −1)
f( )t = (t −2)
u(t −2)− u(t −3)
31-1-33 11--33写出图题1-3所示各信号的函数表达式。解πf( )t = − sint
u(t +2) − u(t −2)
32f 4 (t) = u(t +2) − 2u(t +1) + 3u(t −1) − 4u(t −2) + 2u(t −3)1-1-4 411--4 422 画出下列各信号的波形：(1) f (t)=U(t-1); (2) f (t)=(t-1)U(t-1); (3) f (t)=U(t-5t+6);1223 (4)f (t)=U(sinπt)。4 解 (1) f 1 (t) = u(t −1) + u(−t −1) ,其波形如图题 1.4(a)所示. (2)f 2 (t) = (t −1)
u(t −1) + u(−t −1)
= (t −1) u(t −1) + (t −1) u(−t −1) 其波形如图题 1.4(b)所示.(3) f 3 (t) = u(−t +2)+ u(t −3) ,其波形如图 1.4(c)所示. (4) f 4 (t) = u(sinπt) 的波形如图题 1.4(d)所示.1-5判断下列各信号是否为周期信号，若是周期信号，求其周期 T。ππ 2(1)f 1(t) = 2 cos(2t − ) (1)f 2 (t) =
sin(t − )
4 ;6; (3) f 3 (t) = 3 cos 2πtU (t) 。解：周期信号必须满足两个条件 :定义域t ∈ R ,有周期性,两个条件缺少任何一个,则就不是周期信号 了.2πT =s(1) 是,3 .1π2πf (t) = 3×
1 − cos(2t − )
T == πs(2)23 ,故为周期信号,周期2.(3) 因 t0 时有f (t) =0,故为非周期信号 1-1-6 611--6 6化简下列各式：td π∞ dδ(2 τ −1) dτ 1cos(t + )(δ (t)) ∫
costδ (t)
sin tdt∫dt 4−∞ dt（1）−∞; (2); (3)。tt 1111
δ2( τ − 1 )
dτ = δ (τ − )dτ = u (t − ) 解 (1) 原式 ∫− ∞2∫− ∞ 2222dπ2 ′
cos• δ (t)
=δ (t)(2) 原式 dt42∞′′∫ δ (t) sin tdt =
− sin (t)
t = 0= − cos t = 0 = − 1− ∞(3) 原式1-1-77 11--77∞∞∞∫ cos
ω(t −3) δ (t −2)
dt∫ ejwt δ (t +3) dt∫ e−2t × δ (t0 − t)dt 求下列积分：（1） 0; (2) 0; (3) 0。 解 (1) 原式 = cos
ω(2−3)
= cos(−ω) = cos ω∞e−j 3ω ∫ δ (t +3) dt = e−j 3ω × 0 = 0(2) 原式0∞−2t−2t−2teδ (t − t)dt = e0 × 1= e0∫00(3) 原式1-1-88 11--88πf( )t = cost
U(t) − U(t −5)
3 试求图题 1-8中各信号一阶导数的波形，并写出其函数表达式，其中2。f ′(t) = 2u(t +1) − 3u(t) + u(t −2)f ′(t) 解 （a） 1，的波形如图题 1。8（d）所示。′′f (t) = u(t +1) − 2u(t −1) + 3u(t −2)− u(t −3)f( )t （b） 2， 2的波形如图题 1。8（e）所示。′πf 3 (t) = − sint
u(t) − u(t −5)
+ δ (t) f ′(t) （c）2, 3的波形如图题 1.8（f）所示.1-1-99 11--991f ( ) 已知信号2 的波形如图题 1-9 所示，试画出 y(t)=f(t+1)U(-t)的波形。解解 y (t) = f (t +1) u(−t) 的波形如图题 1.9(b)所示。 解解1-1-1010 11--1010td∫ f (2 −τ )dτ
f ( 6 − 2 t )
已知信号 f(t)的波形如图题 1-10所示，试画出信号 −∞与信号 dt的波形。tf (2 − t)∫ f (2 −τ )dτ 解解 (1)的波形与 −∞的波形分别如图题 1.10(b),(c)所示。 解解d
f (6 − 2t)
(2) f (6− 2t) 的波形与dt的波形分别如图题 1.10(d),(e)所示。且 d
f (6 − 2t)
= δ (t −2)+ δ (t2−.5)− 2δ (t −3) dt1-1-11 1111--11 11已知f(t)是已录制的声音磁带，则下列叙述中错误的是(_C_)。A.f(-t)是表示将磁带倒转播放产生的信号B.f(2t)表示磁带以二倍的速度加快播放C.f(2t)表示磁带放音速度降低一半播放D.2f(t)表示将磁带音量放大一倍播放 1-1-12 1211--12 12求解并画出图题 1-12 所示信号 f (t), f (t)的偶分量f (t)与奇分量f (t)。12eo11 解 解 因f (t) = f(t) + f(t) =
f (t) + f (−t)
f (t) − f (−t)
式中 解解e02211 f (t) =
f (t) + f (−t)
, f(t) =
f (t) − f (−t)
。故可画出各待求偶分量e022 与奇分量的波形，相应如图题 1.12中所示。1-13已知信号f(t)的偶分量f (t)的波形如图题1-13(a)所示，信号f(t+1)×U(-t-1)的波形如图题 1-13(b)e所示。求 f(t)的奇分量 f (t)，并画出f (t)的波形。oo解解解解因 f (t) = f(t) + f (t)e0故有f (t)u(−t) = f(t)u(−t) + f(t)u(−t)e0将信号右移1的波形如图题f (t +1) u(−t −1) → f (t − 1+1) u(−t − 1+1)= f (t)u(−t), f (t)u(−t) 1.13(c)所示。又有f (t)u(−t) = f (t)u(−t) − f(t)u(−t)0ef (t)u(−t) 的波形如图题 1.13(d)所示。0因为 f(t) 是奇函数，关于坐标原点对称，故f(t)u(t) 的波形如图题 1.13(e)所示。最后得00f (t) = f (t)u(−t) + f(t)u(t) = u(−t −1)− u(t −1)000f (t) 的波形如图题 1.13(f)所示。01-1-1414 11--1414设连续信号 f(t)无间断点。试证明：若 f(t)为偶函数，则其一阶导数 f′(t)为奇函数；若 f(t)为奇函 数，则其一阶导数 f′(t)为偶函数。 解解 （1）若为偶函数WhatsApp网页版，则有.故 ′′ .故 ′为奇函数。 解解f (t)f (−t) = f (t)f (−t) = −f(t)f (t)(2）若f (t) 为奇函数，则有f (−t) = −f (t) . 故f ′(−t) = −f ′(t) ，即f ′(t) = −
f ′(−t)
= −
−f ′(t)
= f ′(t).故 f ′(t) 为偶函数。1-1-1515 11--1515 试判断下列各方程所描述的系统是否为线性的、时不变的、因果的系统。式中 f(t)为激励，y(t)为响应。dy (t) =f (t)(1)dt(2) y(t)=f(t)U(t)(3) y(t)=sinU(t)(4) y(t)=f(1-t)2(5) y(t)=f(2t)(6) y(t)=t5ty (t) = ∫ f (τ )dτ(y )t = ∫ f (τ )dτ(7)−∞(8)−∞答答 (1) 线性，时不变，因果系统 答答f (t)y (t)f (t − t )(2) 线性，时变，因果系统。因为当激励为时，其响应；当激励为0 时WhatsApp网页版，其响应为 y (t) = f (t − t )u(t)y (t − t ) ≠ y(t)10，但是01，所以系统为时变系统。(3) 非线性，时变，因果系统。(4) 线性，时变，非因果系统。因为当t = 0(y0)= f(1)时有，即系统当前时刻的响应决定于未来时 刻的激励，故为非因果系统。(5) 线性 ，时变，非因果系统。(6) 非线性，时不变，因果系统。因为当激励为f (t) 时，响应为y (t) ；当激励为kf (t) 时，响应为 y (t) = 2y (t) ≠ ky(t)1， 但 1，故该系统为非线性系统。(7）线性，时不变，因果系统。(8) 线性，时变，非因果系统。 1-1-1616 11--1616t−tτy (t) = e∫ f (τ )e dτ 已知系统的激励f(t)与响应 y(t)的关系为−∞，则该系统为，(_A_)。，，A 线性时不变系统B线性时变系统C 非线性时不变系统D 非线性时变系统1-1-1717 11--1717 图题 1-17(a)所示系统为线性时不变系统，已知当激励 f (t)=U(t)时，其响应为1 y (t)=U(t)-2U(t-1)+U(t-2)。若激励为f2(t)=U(t)-U(t-2)，求图题 117(b)所示系统的响应 y (t)。12解解 y(t) = u(t) − 2u(t −1) + u(t −2)−2
u(t −1)− 2u(t −2)+ u(t −3)
+解解 22
u(t −3)− 2u(t −4)+ u(t −5)
u(t −4)− 2u(t −5)+ u(t −6)=u(t) − 4u(t −1)+ 5u(t −2)− 5u(t −4)+ 4u(t −5)− u(t −6)y( )t 的波形如图题 1.17(c)所示.21-1-1818 11--1818图题 1-18(a)所示为线性时不变系统，已知 h (t)=δ(t)-δ(t-1), h (t)=δ(t-2)-δ(t-3)。（1）求响12 应 h(t)；（2） 求当f(t)=U(t)时的响应 y(t)（见图题 1-18(b))。解解 （1（1）） h(t) = h (t) − h (t) = δ (t) − δ (t −1)− δ (t −2)+ δ (t −3)解解 （（11））12t(2) 因(2) f (t) = u(t) =δ (τ )dτ ，故根据现行系统的积分性有(2) (2)∫−∞tt y (t) =h(τ (dτ =
δ (τ ) − δ (τ −1)− δ (τ −2)+ δ (τ 3−)
dτ = u(t) − u(t −1) − u(t −2)+ u(t −3)∫∫−∞−∞1-1-1919 11--1919已知系统激励f(t)的波形如图题 1-19(a)所示WhatsApp网页版，所产生的响应 y(t)的波形如图题 1-19(b)所示。试求激励 f (t)（波形如图题1-19(c)所示）所产生的响应 y (t)的波形。11解解用f (t) 表示 f(t) 即 解解1